高中数学是大家最头疼的一门学科了,因为数学的知识点是非常非常多的,也是非常非常复杂的,特别是方程式的解法,今天小编向大家说的是关于一元三次方程知识点,很多人一遇到一元三次方程,就不知道该怎么解一元三次方程,我们来看看一元三次方程快速解法。 
一元三次方程是只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为3(即“次”)的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax^3+bx^2+cx+d=0(a,b,c,d为常数,x为未知数,且a≠0)。
一元三次方程最常见的解法就是卡尔达诺公式法:
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
卡丹公式 X⑴=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X⑵= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;
标准型方程中卡尔丹公式的一个实根X⑶=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2; Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y-b/(3a)代入上式, 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡丹判别法 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
×推导过程:
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;
2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,
代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 则u^3=A;v^3=B ,
u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;
v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组解: u1= A^(1/3),v1= B^(1/3);
u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2; u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,
最后: 方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,
即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

一元三次方程是只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为3(即“次”)的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax^3+bx^2+cx+d=0(a,b,c,d为常数,x为未知数,且a≠0)。
一元三次方程最常见的解法就是卡尔达诺公式法:
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
卡丹公式 X⑴=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X⑵= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;
标准型方程中卡尔丹公式的一个实根X⑶=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2; Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y-b/(3a)代入上式, 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡丹判别法 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
×推导过程:
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;
2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,
代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),
不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2), 则u^3=A;v^3=B ,
u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;
v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组解: u1= A^(1/3),v1= B^(1/3);
u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2; u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,
最后: 方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,
即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。